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7.設Sn是數列{an}的前n項和,且a1=1,an+1=-SnSn+1,則使nSn21+10Sn2取得最大值時n的值為3.

分析 a1=1,an+1=-SnSn+1,可得1Sn+1-1Sn=1,利用等差數列的通項公式可得Sn=1n.于是nSn21+10Sn2=1n+10n=g(n),考查函數f(x)=x+10x的單調性,x>0,即可得出.

解答 解:∵a1=1,an+1=-SnSn+1
∴Sn+1-Sn=-SnSn+1,∴1Sn+1-1Sn=1,
∴數列{1Sn}是等差數列,首項為1,公差為1.
1Sn=1+(n-1)=n.
∴Sn=1n
nSn21+10Sn2=n×1n21+10×1n2=nn2+10=1n+10n=g(n),
考查函數f(x)=x+10x的單調性,x>0,
可知:函數f(x)在010上單調遞減,在10+上單調遞增.
又g(3)=319,g(4)=213,∴g(3)>g(4).
∴使nSn21+10Sn2取得最大值時n的值為3.
故答案為:3.

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列通項公式、數列的單調性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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