Question

（1）用函數(shù)單調(diào)性定義證明f（x）=x+

2

x

在x∈（0，

2

）上是減函數(shù)；
（2）求函數(shù)y=

2(x2+x)

x-1

（2≤x＜4）的值域．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x₁，x₂是（0，

2

）上的任意兩個值，且x₁＜x₂，通過作差證明f（x₂）＜fx₁）即可；
（2）令t=x-1（1≤t＜3），則x=t+1，可得y=2（t+

2

t

+3），易知函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得函數(shù)的最值，從而可得值域；

解答：（1）證明：設(shè)x₁，x₂是（0，

2

）上的任意兩個值，且x₁＜x₂，
則x₂-x₁＞0，所以f（x₂）-f（x₁）=x2+

2

x2

-x1-

2

x1

=（x₂-x₁）+

2(x1-x2)

x1x2

=（x₂-x₁）•

x1x2-2

x1x2

，
∵0＜x₁＜

2

，0＜x₂＜

2

，
∴0＜x₁x₂＜2，x₁x₂-2＜0，
又x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜fx₁），
∴f（x）=x+

2

x

在x∈（0，

2

）上是減函數(shù)；
（2）令t=x-1（1≤t＜3），則x=t+1，
∴y=

2[(t+1)2+(t+1)]

t

=

2(t2+3t+2)

t

=2（t+

2

t

+3），
由（1）知y=2（t+

2

t

+3）在x∈（0，

2

）上單調(diào)遞減，
同理可證y=2（t+

2

t

+3）在（

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=

2

即x=

2

+1時，y_min=2（3+2

2

），當(dāng)t=3即x=4時，y=

40

3

；當(dāng)t=1即x=2時，y=12；
∴原函數(shù)的值域為[2（3+2

2

），

40

3

）．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明及其應(yīng)用，考查函數(shù)的值域的求解，屬中檔題．