已知曲線y=
1x
和y=x2
（1）求它們的交點；
（2）分別求它們在交點處的切線方程；
（3）求兩條切線與x軸所圍成的三角形面積．
分析：（1）聯(lián)立方程可得曲線y=
1
x
和y=x2在它們的交點坐標(biāo)；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)在（1，1）處的切線的斜率，從而可求切線方程；
（3）確定兩條切線與x軸所圍成的三角形三個頂點的坐標(biāo)，即可求得兩條切線與x軸所圍成的三角形面積．
解答：解：（1）聯(lián)立方程可得
y=
1
x
y=x2
，解得x=1，y=1
∴曲線y=
1
x
和y=x2在它們的交點坐標(biāo)是（1，1）；…（2分）
（2）y=
1
x
的導(dǎo)函數(shù)為y′=-
1
x2
，∴在（1，1）處的切線的斜率為-1，
∴切線方程為y-1=-（x-1），即y=-x+2
y=x2的導(dǎo)函數(shù)為y=2x，∴在（1，1）處的切線的斜率為2，
∴切線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1，…（8分）
（3）兩條切線與x軸所圍成的三角形如圖所示，兩條切線與x軸的交點坐標(biāo)分別為（2，0），（
1
2
，0），兩條切線交點是（1，1），
∴兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是
3
4
．…（14分）
點評：本題考查曲線的切線方程，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知曲線C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
(n∈N*)．從C上的點Qn（xn，yn）作x軸的垂線，交Cn于點Pn，再從Pn作y軸的垂線，交C于點Qn+1（xn+1，yn+1）．設(shè)x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
（I）求a1，a2，a3的值；
（II）求數(shù)列{an}的通項公式；
（III）設(shè)△PiQiQi+1（i∈N*）和面積為Si，記f(n)=
n
i=1
Si，求證f(n)＜
1
6
.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

加試題：已知曲線C：y=
1
x
(x＞0)，過P1（1，0）作y軸的平行線交曲線C于Q1，過Q1作曲線C的切線與x軸交于P2，過P2作與y軸平行的直線交曲線C于Q2，照此下去，得到點列P1，P2，…，和Q1，Q2，…，設(shè)|
PnQn
|=an，
2
|
QnQn+1
|=bn(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求證：b1+b2+…+bn＞2n-2-n；
（3）求證：曲線C與它在點Qn處的切線，以及直線Pn+1Qn+1所圍成的平面圖形的面積與正整數(shù)n的值無關(guān)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知曲線C：y=
1
x
在點P（1，1）處的切線與x軸交于點Q1，過點Q1作x軸的垂線交曲線C于點P1，曲線C在點P1處的切線與x軸交于點Q2，過點Q2作x軸的垂線交曲線C于點P2，…，依次得到一系列點P1、P2、…、Pn，設(shè)點Pn的坐標(biāo)為（xn，yn）（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項公式；
（Ⅱ）求三角形OPnPn+1的面積S△OPnPn+1
（Ⅲ）設(shè)直線OPn的斜率為kn，求數(shù)列{nkn}的前n項和Sn，并證明Sn＜
4
9
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知曲線C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
（n∈N*）．從C上的點Qn（xn，yn）作x軸的垂線，交Cn于點Pn，再過點Pn作y軸的垂線，交C于點Qn+1（xn+1，yn+1）設(shè)，x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn -yn+1．
（1）求點Q1、Q2的坐標(biāo)；
（2）求數(shù)列{an} 的通項公式；
（3）記數(shù)列{an•yn+1} 的前n項和為Sn，求證sn＜
1
3
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案