Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜

π

2

．
（1）若cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=0，求φ的值；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)f（x）的圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離等于

π

3

，求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）在（2）的條件下，若方程2f（x）-1=0在區(qū)間[a，b]上有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求b-a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=cos（

π

4

+φ）=0，結(jié)合|φ|＜

π

2

，求得φ的值．
（2）由函數(shù)的周期為

2π

ω

=2×

π

3

，求得ω 的值，可得f（x）的解析式．
（3）由題意可得 sin（3x+

π

4

）=

1

2

在區(qū)間[a，b]上有三個(gè)實(shí)數(shù)根，可得b-a的最小值為一個(gè)周期，b-a的最大值趨于2個(gè)周期，從而求得b-a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），若cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=cos（

π

4

+φ）=0，
結(jié)合|φ|＜

π

2

，可得 φ=

π

4

．
（2）由于函數(shù)f（x）的圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離等于

π

3

，
可得函數(shù)的周期為

2π

ω

=2×

π

3

，求得ω=3，故f（x）=sin（3x+

π

4

）．
（3）在（2）的條件下，若方程2f（x）-1=0在區(qū)間[a，b]上有三個(gè)實(shí)數(shù)根，
即 sin（3x+

π

4

）=

1

2

在區(qū)間[a，b]上有三個(gè)實(shí)數(shù)根，
故b-a的最小值為一個(gè)周期

2π

3

，b-a的最大值趨于2個(gè)周期

4π

3

，
故b-a∈[

2π

3

，

4π

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象性質(zhì)，方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，屬于基礎(chǔ)題．