Question

給出下列五個(gè)命題：
①已知直線a，b和平面α，若a∥b，b∥α，則a∥α；
②平面上到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是一條拋物線；
③雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），則直線y=

b

a

x+m（m∈R）與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直；
⑤過(guò)M（2，0）的直線l與橢圓

x2

2

+y²=1交于P₁P₂兩點(diǎn)，線段P₁P₂中點(diǎn)為P，設(shè)直線l斜率為k1（k≠0），直線OP的斜率為k₂，則k₁k₂等于-

1

2

．
其中，正確命題的序號(hào)為

④⑤

．

Answer 1

分析：①利用線面平行的性質(zhì)．②結(jié)合拋物線的定義及條件．③利用雙曲線漸近線的性質(zhì)．④利用面面垂直的判定定理．⑤利用直線與橢圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)差法求解．．

解答：解：①線面平行的前提條件是直線a?α，所以條件中沒有a?α，所以①錯(cuò)誤．
②當(dāng)定點(diǎn)位于定直線時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)到軌跡為垂直于直線且以定點(diǎn)為垂足的直線，只有當(dāng)點(diǎn)不在直線時(shí)，軌跡才是拋物線，所以②錯(cuò)誤．
③因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，當(dāng)直線與漸近線平行時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線與漸近線重合時(shí)，沒有交點(diǎn)，所以③錯(cuò)誤．
④根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，只有當(dāng)平面內(nèi)的直線垂直于交線時(shí)，才垂直于另一個(gè)平面，否則將不和另一個(gè)平面垂直，所以④正確．
⑤設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），中點(diǎn)P（x₀，y₀），則k1=

y1-y2

x1-x2

，k2=

y0

x0

=

y1+y2

x1+x2

，
把P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）分別代入橢圓方程

x2

2

+y²=1，
得

x

2 1

+2

y

2 1

=2 ①

x

2 2

+2

y

2 2

=2 ②，兩式相減得

x

2 1

-

x

2 2

+2(

y

2 1

-

y

2 2

)=0，
整理得

y1+y2

x1+x2

?

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

，即k1k2=-

1

2

，所以⑤正確．
所以正確命題的序號(hào)為④⑤．
故答案為：④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間線面平行于垂直的判斷以及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．