Question

某工廠有一個容量為300噸的水塔，每天從早上6時起到晚上10時止供應(yīng)該廠的生產(chǎn)和生活用水，已知該廠生活用水為每小時10噸，工業(yè)用水量W（噸）與時間t（小時，且規(guī)定早上6時t=0）的函數(shù)關(guān)系為W=100

3	t

．水塔的進水量分為10級，第一級每小時進水10噸，以后每提高一級，每小時進水量就增加10噸．若某天水塔原有水100噸，在開始供水的同時打開進水管，問進水量選擇為第幾級時，既能保證該廠的用水（水塔中水不空）又不會使水溢出？

Answer 1

設(shè)進水量選第x級，則t小時后水塔中水的剩余量為：
y=100+10xt-10t-100

3	t

，且0≤t≤16．
根據(jù)題意0＜y≤300，∴0＜100+10xt-10t-100

3	t

≤300．
當t=0時，結(jié)論成立．
當t＞0時，由左邊得x＞1+10（

1

3 t2

-

1

t

）
令m=

1

3 t

，由0＜t≤16，m≥

3 4

4

，
記f（t）=1+10（

1

3 t2

-

1

t

）=1+10m²-10m³，（m≥

3 4

4

），
則f′（t）=20m-30 m ²=0得m=0或m=

2

3

．
∵當

3 4

4

≤m＜

2

3

時，f′（t）＞0；當m＞

2

3

時，f′（t）＜0，
∴所以m=

2

3

時（此時t=

27

8

），f（t）最大值=1+10（

2

3

）²-10（

2

3

）³=

67

27

≈2.48．
當t=

27

8

時，1+10（

1

3 t2

-

1

t

）有最大值2.48．∴x＞2.48，即x≥3．
由右邊得x≤

20

t

+

10

3 t2

+1，
當t=16時，

20

t

+

10

3 t2

+1取最小值

20

16

+

10

3 162

+1=

9

4

+

5 3 2

4

∈（3，4）．
即x≤3．
綜合上述，進水量應(yīng)選為第3級．