（1）已知函數(shù)f(x)=x+
4
x
，(x≠0)請判斷并證明函數(shù)在（2，+∞）上的單調(diào)性．
（2）求值：(lg2)2+
4
3
log1008+lg5•lg20+lg25+
382
+0.027-
2
3
×(-
1
3
)-2．
分析：（1）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟進出證明，注意變形時主要利用通分；
（2）根據(jù)指數(shù)冪和對數(shù)運算性質(zhì)進行化簡求值，主要利用了lg2+lg5=0求值．
解答：解：（1）函數(shù)f(x)=x+
4
x
，(x≠0)在（2，+∞）上是增函數(shù)，
證明如下：設x1＞x2＞2，
則f（x1）-f（x2）=x1+
4
x1
-（x2+
4
x2
）=（x1-x2）+
4(x2-x1) 
x1x2

=
(x1-x2)(x1x2-4 )   
x1x2

∵x1＞x2＞2，∴x1-x2＞0，x1x2＞4，x1x2-4＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴函數(shù)f(x)=x+
4
x
，(x≠0)在（2，+∞）上是增函數(shù)．
（2）原式=(lg2)2+2lg 2+lg5•(lg2+1)+2lg5+4+0.3-
2
3
×3 ×9
=（lg2）2+2lg2+lg5•lg2+lg5+2lg5+104
=（lg2）2+lg5•lg2+lg5+106=107．
點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷證明、以及指數(shù)和對數(shù)運算性質(zhì)的應用，定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設值、作差、變形、判斷符號、下結論；求值常用的方法是將根式化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，指數(shù)式和對數(shù)式互化，以及將真數(shù)拆成幾個數(shù)的積或商的形式．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知下列命題：（1）已知函數(shù)f(x)=x+
p
x-1
（p為常數(shù)且p＞0），若f（x）在區(qū)間（1，+∞）的最小值為4，則實數(shù)p的值為
9
4
； （2）?x∈[0，
π
2
]，sinx+cosx＞
2
；（3）正項等比數(shù)列{an}中：a4．a(chǎn)6=8，函數(shù)f（x）=x（x+a3）（x+a5）（x+a7），則f′(0)=16
2
；（4）若數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2n2-n+1，且bn=2an+1，則數(shù)列{bn}前n項和為Tn=4n2-n+2上述命題正確的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知函數(shù)f(x)=sin(
1
2
x+
π
4
)，求函數(shù)在區(qū)間[-2π，2π]上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）計算：tan70°cos10°(
3
tan20°-1)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義在集合D上的函數(shù)y=f（x），若f（x）在D上具有單調(diào)性，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使當x∈[a，b]時，
f（x）的值域是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)，區(qū)間[a，b]稱為f（x）的“等域區(qū)間”．
（1）已知函數(shù)f(x)=
x
是[0，+∞）上的正函數(shù)，試求f（x）的等域區(qū)間．
（2）試探究是否存在實數(shù)k，使函數(shù)g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函數(shù)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

問題1：已知函數(shù)f(x)=
x
1+x
，則f(
1
10
)+f(
1
9
)+…+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=
19
2
19
2
．
我們?nèi)舭衙恳粋�函數(shù)值計算出，再求和，對函數(shù)值個數(shù)較少時是常用方法，但函數(shù)值個數(shù)較多時，運算就較繁鎖．觀察和式，我們發(fā)現(xiàn)f(
1
2
)+f(2)、…、f(
1
9
)+f(9)、f(
1
10
)+f(10)可一般表示為f(
1
x
)+f(x)=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1為定值，有此規(guī)律從而很方便求和，請求出上述結果，并用此方法求解下面問題：
問題2：已知函數(shù)f(x)=
1
2x+
2
，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a是實數(shù)，f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)
（1）已知函數(shù)f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值．
（2）試證明：對于任意實數(shù)a，f（x）在R上為增函數(shù)．

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