Question

已知向量

a

=(

3

-m，sinx)，

b

=(1，4cos(x+

π

3

))（m∈R，且m為常數(shù)），設函數(shù)f（x）=

a

•

b

，若f（x）的最大值為1．
（1）求m的值，并求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C 的對邊a、b、c，若f（B）=

3

-1，且

3

a=b+c，試判斷三角形的形狀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，求出f（x）的表達式，根據(jù)f（x）的最大值為1，求出m的值，從而可以求出f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（B）=

3

-1，可以求得B，再根據(jù)正弦定理，將

3

a=b+c化為角表示，利用角A，B，C的關系，即可求出角A，從而得到角C，即可判斷出三角形的形狀．

解答：解：（1）∵

a

=(

3

-m，sinx)，

b

=(1，4cos(x+

π

3

))（m∈R，且m為常數(shù)），
∴f（x）=

a

•

b

=

3

-m+4sinxcos（x+

π

3

）=2sin（2x+

π

3

）-m，
∴當sin（2x+

π

3

）=1時，f（x）取最大值2-m，
∵f（x）的最大值為1，
∴2-m=1，即m=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）-1，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，解得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，(k∈Z)；
（2）∵f（B）=

3

-1，
∴2sin（2B+

π

3

）-1=

3

-1，即sin（2B+

π

3

）=

3

2

，
∵B∈（0，π），則2B+

π

3

∈（

π

3

，2π+

π

3

），
∴2B+

π

3

=

2π

3

，解得B=

π

6

，
∵

3

a=b+c，根據(jù)正弦定理得，

3

sinA=sinB+sinC，
∵A+B+C=π，且B=

π

6

，則C=

5π

6

-A，
∴

3

sinA=sinB+sin（

5π

6

-A），
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵A∈（0，

5π

6

），則A-

π

6

∈（-

π

6

，

2π

3

），
∴A-

π

6

=

π

6

，在A=

π

3

，
∴C=π-A-B=

π

2

，
∴△ABC為直角三角形．

點評：本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，兩角和與差的正弦公式，三角函數(shù)的單調性的求解，三角形形狀的判斷．是向量與三角函數(shù)以及解三角形的一個綜合應用題．對于三角形形狀的判定，一般將所給的條件利用正弦定理或余弦定理轉化成邊或角進行求解．屬于中檔題．