Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x-1，g（x）=x³-x²-5x+m，若存在x₁∈（-2，2）使得f（x₁）≤g（x₁）成立，求m取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：原題等價(jià)于在x∈（-2，2）內(nèi)，f（x）_max≤g（x）_min，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出在x∈（-2，2）內(nèi)，當(dāng)x→-2時(shí)，f（x）_max→f（-2）=（-2-

1

2

）²-

5

4

=5．利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出在（-2，2）內(nèi)g（x）_min=g（

5

3

）=

125

27

-

25

9

+m=m+

50

27

，由f（x）_max≤g（x）_min，能求出m取值范圍．

解答： 解：若存在x₁∈（-2，2）使得f（x₁）≤g（x₁）成立，
則在x∈（-2，2）內(nèi)，f（x）_max≤g（x）_min，
∵f（x）=x²-x-1=（x-

1

2

）²-

5

4

，
∴在x∈（-2，2）內(nèi)，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）_min=-

5

4

，
當(dāng)x→-2時(shí)，f（x）_max→f（-2）=（-2-

1

2

）²-

5

4

=5．
∵g（x）=x³-x²-5x+m，
∴g′（x）=3x²-2x-5，
由g′（x）=0，得x1=

5

3

，x₂=-1，
當(dāng)x∈（-2，-1）時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（-1，

5

3

）時(shí)，g¹（x）＜0；
當(dāng)x∈（

5

3

，2）時(shí)，g′（x）＞0．
∴在（-2，2）內(nèi)g（x）_min=g（

5

3

）=

125

27

-

25

9

+m=m+

50

27

，
∵f（x）_max≤g（x）_min，
∴5＜m+

50

27

，解得m＞

85

27

．
故m取值范圍是（

85

27

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意二次函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．