Question

已知函數(shù)f（x）=mlnx+

1

2

x²-（m+1）x+ln2e²（其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）當m=-1時，求函數(shù)f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出m=-1的f（x）的解析式，求出切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，并分解因式，對m討論，①當m＞1時，②當m=1時，③當0＜m＜1時，④當m≤0時，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）當m=-1時f(x)=-lnx+

1

2

x2+ln2e2，f′(x)=-

1

x

+x，
即有f（2）=4，f′(2)=

3

2

，
則切線方程為：y-4=

3

2

(x-2)，
即 3x-2y+2=0；
（Ⅱ）由已知可得f′(x)=

m

x

+x-(m+1)，（x＞0）
即f′(x)=

x2-(m+1)x+m

x

=

(x-1)(x-m)

x

，
①當m＞1時，當x＞m或0＜x＜1時，f′（x）＞0，當1＜x＜m時，f′（x）＜0，
即函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），（ m，+∞），遞減區(qū)間為（1，m）．
②當m=1時，f′（x）≥0恒成立，
即函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（ 0，+∞）．
③當0＜m＜1時，當x＞1或0＜x＜m時，f′（x）＞0，當m＜x＜1時，f′（x）＜0，
即函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，m），（1，+∞），遞減區(qū)間為（m，1）．
④當m≤0時，當0＜x＜1時，f′（x）＜0，當x＞1時，f′（x）＞0，
即有函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（1，+∞），遞減區(qū)間為（0，1）．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和判斷單調性，運用分類討論的思想方法和二次不等式的解法是解題的關鍵．