Question

12．（文科）已知m∈R，集合A={m|m²-am＜12a²（a≠0）}；集合B={m|方程$\frac{{x}^{2}}{m+4}$+$\frac{{y}^{2}}{8-m}$=1表示焦點在y軸上的橢圓}，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要條件，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 通過討論a的范圍，分別求出關于A、B的不等式的解集，結合集合的包含關系，得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：對于集合A，由m²-am＜12a²，故（m-4a）（m+3a）＜0，
對于集合B，解$\left\{\begin{array}{l}{m+4＞0}\\{8-m＞0}\\{m+4＜8-m}\end{array}\right.$，解得：-4＜m＜2；
①a＞0時，集合A：-3a＜m＜4a，
若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要條件，
則$\left\{\begin{array}{l}{-4＜-3a}\\{4a＜2}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$；
②a＜0時，集合A：a＜m＜-3a，
若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要條件，
則$\left\{\begin{array}{l}{-4＜4a}\\{-3a＜2}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{2}{3}$＜a＜0，
綜上：a∈（-$\frac{2}{3}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了充分必要條件，考查集合的運算以及不等式問題，是一道中檔題．