Question

已知函數(shù)f(x)=

2x

x+1

，f^-1（x）為f（x）的反函數(shù)
（1）求f^-1（x）；
（2）設(shè)k＜2，解關(guān)于x的不等式x•f-1(x)＜

(k+1)x-k

2-x

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)y=

2x

x+1

，變形后得到y(tǒng)不等于2，然后利用含有y的代數(shù)式表示出x，把x換為y，y換為x后，得到f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（2）把（1）中求出的f（x）的反函數(shù)代入x•f-1(x)＜

(k+1)x-k

2-x

中，化簡后得到x-k，x-1及x-2三者乘積大于0，然后分k小于1，k=1及k大于1小于2三種情況，利用不等式取解集的方法即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）由y=

2x

x+1

=

2(x+1)-2

x+1

=2-

2

x+1

≠2，（2分）
y(x+1)=2x?(2-y)x=y?x=

y

2-y

，（4分）
故f-1(x)=

x

2-x

，(x≠2)；（5分）
（2）由（1）知不等式x•f-1(x)＜

(k+1)x-k

2-x

?

x2-(k+1)x+k

2-x

＜0?

(x-k)(x-1)

2-x

＜0
?（x-k）（x-1）（x-2）＞0．（*）（7分）
①當(dāng)k＜1時，（*）?k＜x＜1或x＞2（8分）
②當(dāng)k=1時，（*）?（x-1）²（x-2）＞0?x＞2（9分）
③當(dāng)1＜k＜2時，（*）?1＜x＜k或x＞2（10分）
綜上：當(dāng)k＜1時，不等式解集為{x|k＜x＜1或x＞2}；
當(dāng)k=1時，不等式解集為{x|x＞2}；
當(dāng)1＜k＜2時，不等式解集為{x|1＜x＜k或x＞2}．（12分）

點評：此題考查學(xué)生會根據(jù)函數(shù)的解析式求出函數(shù)的反函數(shù)，考查了轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．