Question

如圖，直四棱柱 的底面 是平行四邊形，， ，，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，點(diǎn) 在 且.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求銳二面角平面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：(1)利用已知的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.(2)證明證線面垂直，只需要證明直線的方向向量垂直與平面的法向量垂直；（3)把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;(4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問題代數(shù)化.同時注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.

試題解析：（Ⅰ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．則依題意,可得以下各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

∴

∴

∴，．又

∴ 平面．

（Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則 ，

而∴ ，

令得．

又∵是平面的法向量，

∴ ．

所以銳二面角平面角的余弦值為．

考點(diǎn)：利用空間向量證明線面垂直和求夾角 .