Question

已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，離心率為，又拋物線C₂：y²=4mx（m＞0）與橢圓C₁有公共焦點(diǎn)F₂（1，0）．
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F₁且與拋物線交于不同兩點(diǎn)P、Q，且滿足，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）在橢圓中，c=1，，所以，故橢圓方程為
拋物線中，，所以p=2，故拋物線方程為y²=4x
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）和拋物線方程聯(lián)立，得
消去y，整理得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
因?yàn)橹本�和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以k≠0，（2k²-4）²-4k⁴＞0．
解得-1＜k＜1且k≠0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，x₁x₂=1

又，所以
又y²=4x，由此得4x₁=λ²4x₂，即x₁=λ²x₂．
由x₁x₂=1，解得x₁=λ，x₂=
又，所以．
又因?yàn)?＜k²＜1，所以，
解得λ＞0且λ≠1

分析：（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，確定幾何量，從而可求橢圓的方程，利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得拋物線方程；
（2）直線l的方程和拋物線方程聯(lián)立，利用直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，確定k的范圍，利用向量知識(shí)，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，由k的范圍，可得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與拋物線的方程，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．