如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知∠ABC=90°,AB=4,BC=4,BB1=3,M、N分別是B1C1和AC的中點(diǎn).
(1)求異面直線AB1與BC1所成的角;
(2)求MN的長;
(3)求MN與底面ABC所成的角.

解:(1)過C作CD∥AB,過A作AD∥CB,交CD于D,連接C1D,
∵B1C1∥BC,B1C1=BC,BC∥AD,BC=AD,
∴四邊形ADC1B1為矩形,且AB1∥C1D,
∴∠BC1D為異面直線AB1與BC1所成的角或其補(bǔ)角.由已知條件和余弦定理可得
∴異面直線AB1與BC1所成的角為
(2)取BC的中點(diǎn)P,連接MP、NP,則MP∥BB1
∴MP⊥平面ABC,又NP?平面ABC,
∴MP⊥NP.,MP=3,

(3)由(2)知,MN與底面所成的角為∠MNP,且NP=2,
,
分析:(1)過C作CD∥AB,過A作AD∥CB,交CD于D,連接C1D,易得四邊形ADC1B1為矩形,即∠BC1D為異面直線AB1與BC1所成的角或其補(bǔ)角,根據(jù)余弦定理易得到異面直線AB1與BC1所成的角;
(2)取BC的中點(diǎn)P,連接MP、NP,根據(jù)三角形中位線定理,得MP∥BB1,則MP⊥平面ABC,解三角形MNP即可得到MN的長;
(3)由(2)的結(jié)論,MN與底面所成的角為∠MNP,解三角形MNP即可得到MN與底面ABC所成的角.
點(diǎn)評:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角,根據(jù)線面夾角及異面直線夾角的定義,求出線面夾角及異面直線夾角的平面角是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為a,D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn).
(1)求證:平面AB1D⊥平面ABB1A1;
(2)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值;
(3)求平面AB1D與平面ABC所成二面角(銳角)的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分別為AA1,B1C的中點(diǎn),若記
AB
=
a
AC
=
b
,
AA
=
c
,則
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
(用
a
,
b
,
c
表示).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BCA=90°,CA=CB=1,AA'=2,M,N分別是A'B'、A'A的中點(diǎn).
(1)求證:A'B⊥C'M;
(2)求異面直線BA'與CB'所成交的大小;
(3)(理)求BN與平面CNB'所稱的角的大。
(4)(理)求二面角A-BN-C的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=1,AA1=,點(diǎn)DAB的中點(diǎn).

(1)求證:CD⊥平面ABB1A1;

(2)求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

(3)求三棱錐B1A1BC的體積;

(4)求BC1與平面A1BC所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=90°,D為棱AC的中點(diǎn),且AB=BC=BB1=a.

(1)求證:AB1∥平面BC1D;

(2)求異面直線AB1BC1所成的角;

(3)求點(diǎn)A到平面BC1D的距離.

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