Question

已知橢圓的離心率為=,橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為12,點(diǎn)A、B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)．點(diǎn)在橢圓上，且位于軸的上方，．

(I)  求橢圓的方程；

(II)求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(III)   設(shè)是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值．

 

Answer 1

【答案】

解：（I）          （II）點(diǎn)P的坐標(biāo)是()     （III）當(dāng)x=時(shí)，d取得最小值.  

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及點(diǎn)的坐標(biāo)的求解和圓錐曲線上點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最值問題的求解的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為12，

∴      并且由離心率 =，∴   

結(jié)合a,b,c關(guān)系，∴橢圓的方程為                                

（2）由(1)可得點(diǎn)A(-6，0)，B（6，0），F(xiàn)(0，4)                         

  設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則=(x+6，y)，=(x-4，y)，由已知可得聯(lián)立方程組得到關(guān)于x的一元二次方程，  則 2x²+9x-18=0，x=或x=-6．由于y>0，只能x=，于是y=     

從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)。      

（3）直線AP的方程是x-+6=0                                    

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，0)，則M到直線AP的距離是 ．

∴= |m-6|，又-6≤m≤6，解得m=2．                            

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）                                            

設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離為d，則利用兩點(diǎn)的距離公式可以解得最值