13.(1)證明:若實數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,n為正整數(shù),則an,bn,cn也成等比數(shù)列;
(2)設z1,z2均為復數(shù),若z1=1+i,z2=2-i,則$|{{z_1}•{z_2}}|=\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$;若z1=3-4i,z2=4+3i,則|z1•z2|=5×5=25;若${z_1}=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,${z_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}i$,則|z1•z2|=1×1=1.通過這三個小結論,請歸納出一個結論,并加以證明.

分析 (1)利用等比數(shù)列的定義證明即可;
(2)利用復數(shù)的運算法則,即可得出.

解答 (1)證明:∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac,
∴an•cn=(ac)n=(b2n=(bn2,∴an,bn,cn也成等比數(shù)列.…(4分)
(2)解:歸納得到的結論為|z1•z2|=|z1|•|z2|.…(7分)
下面給出證明:設z1=a+bi,z2=c+di,則z1•z2=ac-bd+(ad+bc)i,
∴$|{{z_1}•{z_2}}|=\sqrt{{{({ac-bd})}^2}+{{({ad+bc})}^2}}=\sqrt{{a^2}{c^2}+{b^2}{d^2}+{a^2}{d^2}+{b^2}{c^2}}$,
又$|{z_1}|•|{z_2}|=\sqrt{{a^2}+{b^2}}\sqrt{{c^2}+{d^2}}=\sqrt{{a^2}{c^2}+{a^2}{d^2}+{b^2}{c^2}+{b^2}{d^2}}$,∴|z1•z2|=|z1|•|z2|.…(12分)

點評 本題考查等比數(shù)列的證明,考查類比推理,考查學生的計算能力,屬于中檔題.

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