Question

13．（1）證明：若實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，n為正整數(shù)，則aⁿ，bⁿ，cⁿ也成等比數(shù)列；
（2）設z₁，z₂均為復數(shù)，若z₁=1+i，z₂=2-i，則$|{{z_1}•{z_2}}|=\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$；若z₁=3-4i，z₂=4+3i，則|z₁•z₂|=5×5=25；若${z_1}=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，${z_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}i$，則|z₁•z₂|=1×1=1．通過這三個小結論，請歸納出一個結論，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）利用復數(shù)的運算法則，即可得出．

解答 （1）證明：∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac，
∴aⁿ•cⁿ=（ac）ⁿ=（b²）ⁿ=（bⁿ）²，∴aⁿ，bⁿ，cⁿ也成等比數(shù)列．…（4分）
（2）解：歸納得到的結論為|z₁•z₂|=|z₁|•|z₂|．…（7分）
下面給出證明：設z₁=a+bi，z₂=c+di，則z₁•z₂=ac-bd+（ad+bc）i，
∴$|{{z_1}•{z_2}}|=\sqrt{{{（{ac-bd}）}^2}+{{（{ad+bc}）}^2}}=\sqrt{{a^2}{c^2}+{b^2}{d^2}+{a^2}{d^2}+{b^2}{c^2}}$，
又$|{z_1}|•|{z_2}|=\sqrt{{a^2}+{b^2}}\sqrt{{c^2}+{d^2}}=\sqrt{{a^2}{c^2}+{a^2}{d^2}+{b^2}{c^2}+{b^2}{d^2}}$，∴|z₁•z₂|=|z₁|•|z₂|．…（12分）

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查類比推理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．