如圖,四邊形中(圖1),
,
中點為
,將圖1沿直線
折起,使二面角
為
(圖2)
(1)過作直線
平面
,且
平面
=
,求
的長度。
(2)求直線與平面
所成角的正弦值。
(1)(2)
【解析】
試題分析:因為,中點為
,連接AF,EF.
∵∴AF⊥BD,
∵,∴DB2+DC2=BC2,∴△BCD是以BC為斜邊的直角三角形,BD⊥DC,
∵平面
,
DB=2,∴EF為△BCD的中位線,∴EF∥CD,且EF=
CD,
∴EF⊥BD,EF=,
∴∠AFE是二面角A-BD-C的平面角,∠AFE=60°.∴△ABD為等腰直角三角形,∴AF=BD=1,
∴AE=,在直角三角形DFE中,
.
(2)以F為原點,F(xiàn)B所在直線為x軸,F(xiàn)E所在直線為y軸,平行于EA的直線為z軸,建立空間直角坐標系,則由(1)及已知條件可知B(1,0,0),E(0,,0),A(0,
,
),
D(-1,0,0),C(-1,1,0),
則=(1,-
,-
) ,
=(0,-1,0),
=(-1,-
,-
),
。
設平面ACD的法向量為
=(x,y,z),
則,
∴,y=0,
令x=,則z=-2,∴
=(
,0,-2),故由公式可得直線
與平面
所成角的正弦值為
。
考點:三棱錐的幾何特征,平行關系,垂直關系,角的計算。
點評:中檔題,立體幾何問題中,平行關系、垂直關系,角、距離、面積、體積等的計算,是常見題型,基本思路是將空間問題轉化成為平面問題,利用平面幾何知識加以解決。要注意遵循“一作,二證,三計算”。通過建立空間直角坐標系,利用空間向量,可簡化證明過程。
科目:高中數(shù)學 來源:廣東省云浮中學2012屆高三第一次模擬考試數(shù)學理科試題 題型:044
如圖,四邊形ABCD中(圖1),E是BC的中點,BD=2,BC=1,BC=,AB=AD=
.將(圖1)沿直線BD折起,使二面角A-BD-C為60°(如圖2)
(1)求證:AE⊥平面BDC;
(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值;
(3)求點B到平面ACD的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源:江西省八所重點高中2012屆高三4月高考模擬聯(lián)考數(shù)學理科試題 題型:044
如圖,四邊形ABCD中(圖1),E是BC的中點,DB=2,DC=1,BC=,AB=AD=
.將(圖1)沿直線BD折起,使二面角A-BD-C為60°(如圖2)
(1)求證:AE⊥平面BDC;
(2)求二面角A-DC-B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年廣東省高三第一次模擬考試理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,四邊形中(圖1),
是
的中點,
,
,
將(圖1)沿直線
折起,使二面角
為
(如圖2)
(1)求證:平面
;
(2)求異面直線與
所成角的余弦值;
(3)求點到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源:廣東省云浮中學2011-2012學年高三第一次模擬考試(數(shù)學理科) 題型:解答題
如圖,四邊形
中(圖1),
是
的中點,
,
,
將(圖1)沿直線
折起,使二面角
為
(如圖2)
(1)求證:平面
;
(2)求異面直線與
所成角的余弦值;
(3)求點到平面
的距離.
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