Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²+ax-a（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-3時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若a≤1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)極值的定義，先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的解，再根據(jù)極值的定義看在所求的點(diǎn)處能否取到極值，是極大值還是極小值．對(duì)于第二問(wèn)，先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，然后求得f′（x）＞0，和f′（x）＜0的解，在這注意討論a的取值．

解答： 解：（1）f（x）=

1

3

x3-x2-3x+3，所以f′（x）=x²-2x-3．
∴解x²-2x-3=0，得：x=-1或x=3，所以
x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0；
x∈（-1，3）時(shí)，f′（x）＜0；
x∈（3，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
根據(jù)極值的定義知：x=-1時(shí)，f（x）取到極大值f（-1）=

14

3

；x=3時(shí)，f（x）取到極小值f（3）=-6．
（2）f′（x）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1，∵a≤1，∴a-1≤0
∴若a-1=0，即a=1時(shí)f′（x）≥0，所以（-∞，+∞）是f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
若a＜1時(shí)，解（x-1）²+a-1=0得：x=1±

1-a

，所以：
x∈（-∞，1-

1-a

）時(shí)，f′（x）＞0，∴（-∞，1-

1-a

）是f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
x∈（1-

1-a

，1+

1-a

）時(shí)，f′（x）＜0，∴[1-

1-a

，1+

1-a

]是f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
x∈（1+

1-a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，∴（1+

1-a

，+∞）是f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

點(diǎn)評(píng)：考查極值的定義，只要理解極值的定義，第一問(wèn)不難解出．第二問(wèn)要注意一下討論a的取值．