Question

某食品廠進行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工費為t元（t為常數，且2≤t≤5），設該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為x元（25≤x≤40），根據市場調查，銷售量q與e^x成反比，當每公斤蘑菇的出廠價為30元時，日銷售量為100公斤．
（Ⅰ）求該工廠的每日利潤y元與每公斤蘑菇的出廠價x元的函數關系式；
（Ⅱ）若t=5，當每公斤蘑菇的出廠價x為多少元時，該工廠的利潤y最大，并求最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由條件“日銷售量與e^x（e為自然對數的底數）成反比例”可設日銷量為 ，根據日利潤y=每件的利潤×件數，建立函數關系式，注意實際問題自變量的范圍．
（II）先對函數進行求導，求出極值點，討論極值是否在25≤x≤40范圍內，利用單調性求出函數的最值．
解答：解：（Ⅰ）設日銷量，∴k=100e³⁰，
∴日銷量∴．
（Ⅱ）當t=5時，
由y'≥0得x≤26，由y'≤0得x≥26∴y在[25，26]上單調遞增，在[26，40]上單調遞減．
∴當x=26時，y_max=100e⁴．當每公斤蘑菇的出廠價為26元時，該工廠的利潤最大，最大值為100e⁴元．
點評：解決實際問題的關鍵在于建立數學模型和目標函數，把“問題情境”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系抽象成數學問題，在數學領域尋找適當的方法解決，再返回到實際問題中加以說明．