Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2，且n∈N^*）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）證明：數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，分別取n=2，3，能夠得到a₂，a₃的值；
（2）由

an+n

an-1+(n-1)

=

(2an-1+n-2)+n

an-1+n-1

=

2an-1+2n-2

an-1+n-1

=2，知數(shù)列a_n+n是首項為a₁+1=4，公比為2的等比數(shù)列．由此能求出{a_n}的通項公式；
（3）由a_n的通項公式為a_n=2ⁿ⁺¹-n（n∈N⁺），知S_n=（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（1+2+3+…+n），從而得到數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答：（1）解：∵a₁=3，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2，且n∈N⁺）
∴a₂=2a₁+2-2=6（2分）
a₃=2a₂+3-2=13（4分）

（2）證明：∵

an+n

an-1+(n-1)

=

(2an-1+n-2)+n

an-1+n-1

=

2an-1+2n-2

an-1+n-1

=2
∴數(shù)列a_n+n是首項為a₁+1=4，
公比為2的等比數(shù)列．（7分）
∴a_n+n=4?2^n-1=2ⁿ⁺¹，
即a_n=2ⁿ⁺¹-n
∴a_n的通項公式為a_n=2ⁿ⁺¹-n（n∈N⁺）（9分）

（3）解：∵a_n的通項公式為a_n=2ⁿ⁺¹-n（n∈N⁺）
∴S_n=（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（1+2+3+…+n）（11分）
=

22×(1-2n)

1-2

-

n×(n+1)

2

=2n+1-

n2+n+8

2

（13分）

點評：本題考查數(shù)更的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運用．