Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax（a∈R）
（I）當a=0，求f（x）的最小值；
（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[e²，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（III）當a＞0，b＞0，求證f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2．

Answer 1

解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞），，
當x∈（0，+∞）時，f'（x），f（x）的變化的情況如下：

x
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴由表格可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有唯一的極小值，因此也是最小值．
即．
（II） 由題意得：f'（x）=lnx+a+1，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[e²，+∞）上為增函數(shù)，∴當x∈[e²，+∞）時f'（x）≥0，即lnx+a+1≥0在[e²，+∞）上恒成立，∴a≥-1-lnx，
又當x∈[e²，+∞）時，lnx∈[2，+∞），∴-1-lnx∈（-∞，-3]，
∴a≥-3．
（III）原不等式可化為：f（a）+f[（a+b）-a]≥f（a+b）-（a+b）ln2，
設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+f（k-x）（k＞0）．
則g（x）=xlnx+（k-x）ln（k-x）（0＜x＜k），
，
令g^′（x）＞0，則，∴，∴，解得．
令，
∴上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴g（x）在（0，k）上的最小值為，
∴當x∈（0，k）時，總有，
即f（x）+f（k-x）≥==klnk-kln2=f（k）-kln2
令x=a，k-x=b，則有：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2．
分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系定理即可得出極小值，進而得到最小值．
（II）函數(shù)f（x）在區(qū)間[e²，+∞）上為增函數(shù)?當x∈[e²，+∞）時f'（x）≥0?lnx+a+1≥0在[e²，+∞）上恒成立?a≥[-1-lnx]_max，x∈[e²，+∞）．解出即可．
（III）原不等式可化為：f（a）+f[（a+b）-a]≥f（a+b）-（a+b）ln2，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+f（k-x）（k＞0）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明結(jié)論．
點評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)，及其等價轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)法等基本技能．需要較好的觀察力和計算能力．