Question

（2010•和平區(qū)一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=2，AC=BC=1，且AC⊥BC，M是A₁B₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CB₁∥平面AC₁M；
（Ⅱ）設(shè)AC與平面AC₁M的夾角為θ，求sinθ．

Answer 1

分析：（I）分別以CA、CB、CC₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，可得C、C₁、A、B₁、A₁各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而算出

AM

、

C1M

和

CB1

的坐標(biāo)，證出

CB1

=

AM

+

C1M

，結(jié)合CB₁?平面AC₁M，即可證出CB₁∥平面AC₁M；
（II）利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組解出向量

n

=（2，-2，1）為平面AC₁M的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量的夾角公式算出

n

與

AC

夾角的余弦，結(jié)合直線與平面所成角的性質(zhì)即可得出sinθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=

2

3

．

解答：解：（I）因?yàn)镃A、CB、CC₁兩兩互相垂直，所以分別以CA、CB、CC₁為x、y、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，如圖所示
則C（0，0，0），C₁（0，0，2），A（1，0，0），B₁（0，1，2），A₁（1，0，2），
∵M(jìn)是A₁B₁的中點(diǎn)，∴M（

1

2

，

1

2

，2）
由此可得，

AM

=（-

1

2

，

1

2

，2），

C1M

=（

1

2

，

1

2

，0），

CB1

=（0，1，2），
∴

CB1

=

AM

+

C1M

，可得

CB1

∥平面AC₁M
∵CB₁?平面AC₁M，∴CB₁∥平面AC₁M；
（II）設(shè)向量

n

=（x，y，z）為平面AC₁M的一個(gè)法向量
則

n • C1M = 1 2 x+ 1 2 y=0 n • AM =- 1 2 x+ 1 2 y+2z=0

，取z=1，得x=2，y=-2，
∴

n

=（2，-2，1）為平面AC₁M的一個(gè)法向量
∵

AC

=（-1，0，0），
∴cos＜

n

，

AC

＞=

2×(-1)+(-2)×0+1×0

22+(-2)2+12 • (-1)2+02+02

=

2

3

∵AC與平面AC₁M的夾角為θ，∴sinθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊的三棱柱中證明線面平行，并求直線與平面所成角的正弦之值，著重考查了利用空間坐標(biāo)系的方法求空間角和線面平行的判定定理等知識(shí)，屬于中檔題．