在如圖所示的多面體中,⊥平面, ,,,,的中點.

(1)求證:;

(2)求二面角的平面角的余弦值.  


 解:(1) 解法1

證明:∵平面,平面

,                                  

平面,

平面.    

,則平面.

平面,

.           

,∴四邊形平行四邊形,

,

,又,

∴四邊形為正方形,

,                                       

平面,平面,

⊥平面.                            

平面,

.                           

(2)∵平面,平面

∴平面⊥平面

由(1)可知

⊥平面

平面

                            

的中點,連結(jié),

∵四邊形是正方形,

平面,平面

⊥平面

是二面角的平面角,    

由計算得

        

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

解法2

,平面,平面,

,

,

兩兩垂直. 

以點E為坐標原點,分別為

建立如圖所示的空間直角坐標系.

由已知得,(0,0,2),(2,0,0),

(2,4,0),(0,3,0),(0,2,2),

(2,2,0).  

,,

,    

.   

(2)由已知得是平面的法向量.      

設(shè)平面的法向量為,

,

,即,令,得

設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為

  

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為


練習冊系列答案
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A.            B.             C.            D.

 

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B.

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計算          

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A.             B.           C.               D.

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(A)         (B)  0      (C) 1        (D) 2

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