Question

以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓；
③設(shè)θ是△ABC的一內(nèi)角，且sinθ+cosθ=

7

13

，則x²sinθ-y²cosθ=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
④已知兩定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）和一動(dòng)點(diǎn)P，若|PF₁|•|PF₂|=a²（a≠0），則點(diǎn)P的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
其中真命題的序號(hào)為

 

（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離；
②用代入法求得P的軌跡方程，即可判斷；
③判斷θ為鈍角，cosθ＜0，從而判斷方程所表示的曲線；
④利用兩點(diǎn)間的距離公式，化簡(jiǎn)整理可得結(jié)論．

解答： 解：①不正確．若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離．當(dāng)|k|大于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線．
②∵

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），∴P為弦AB的中點(diǎn)，不妨在單位圓x²+y²=1中，定點(diǎn)A（1，0），動(dòng)點(diǎn)B（x₁，y₁），設(shè)P（x，y），用代入法求得P的軌跡方程是(x-

1

2

)2+y2=

1

4

，∴點(diǎn)P的軌跡為圓，∴②正確；
③∵θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=

7

13

，∴θ∈（

π

2

，π），且|sinθ|＞|cosθ|，∴θ∈（

π

2

，

3π

4

），從而cosθ＜0，∴x²sinθ-y²cosθ=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，∴③不正確；
④|PF₁|•|PF₂|=

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²，設(shè)P（x，y）為曲線

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上任意一點(diǎn)，則P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)（0，0）的對(duì)稱點(diǎn)為P′（-x，-y）也在曲線

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上，∴點(diǎn)P的軌跡曲線

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，同時(shí)考查了橢圓與雙曲線的性質(zhì)，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，屬于中檔題．