Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0，從圓C外一點(diǎn)P（x，y）向圓C引切線PM，M為切點(diǎn)，
有PM=PO，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求：
（Ⅰ）點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？
（Ⅱ）PM的最小值及取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)圓切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，得到三角形CPM為直角三角形，根據(jù)勾股定理表示出點(diǎn)P的軌跡方程，
（Ⅱ）由軌跡方程得到動點(diǎn)P的軌跡為一條直線，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原點(diǎn)到P軌跡方程的距離即為|PO|的最小值，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出P到O的距離，把P代入動點(diǎn)的軌跡方程，兩者聯(lián)立即可此時P的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）∵PM=PO，∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²，即2x-4y+3=0，
點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系是2x-4y+3=0．
（Ⅱ）∵PM=PO，要使PM最小，即求PO最小，由2x-4y+3=0得x=2y-

3

2

PO2=x2+y2=(2y-

3

2

)2+y2=5(y-

3

5

)2+

9

4

-

9

5

當(dāng)y=

3

5

時，POmin=

3

2 5

，此時P的坐標(biāo)(-

3

10

，

3

5

)

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時所滿足的條件，會根據(jù)條件求動點(diǎn)的軌跡方程，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，是一道綜合題．