Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足：a₂+a₄=18，S₇=91．遞增的等比數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，滿足：b₁+b_k=66，b₂b_k-1=128，T_k=126．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}對(duì)?n∈N^*，均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求出公差和首項(xiàng)，由此能求出a_n；由已知條件推導(dǎo)出b₁，b_k方程x²-66x+128=0的兩根，再由Sk=

b1(1-qk-1)

1-q

=

b1-bkq

1-q

=126，能求出q，由此能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出

cn

bn

=an+1-an=4，由此能求出c₁+c₂+…+c₂₀₁₃．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足：a₂+a₄=18，S₇=91，
∴

a1+d+a1+3d=18 7a1+ 7×6 2 d=91

，
解得a₁=1，d=4，
∴a_n=4n-3（2分）
∵遞增的等比數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，
滿足：b₁+b_k=66，b₂b_k-1=128，T_k=126，
b₂b_k-1=b₁b_k，
∴b₁，b_k方程x²-66x+128=0的兩根，
解得b₁=2，b_k=64（4分）
∵Sk=

b1(1-qk-1)

1-q

=

b1-bkq

1-q

=126，
b₁=2，b_k=64代入，得q=2，
∴bn=2n．（6分）
（Ⅱ）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an(n≥2)，
相減有

cn

bn

=an+1-an=4，
∴n≥2，cn=4bn=2n+2，（9分）
又

c1

b1

=a2，得c₁=10，
cn=

10(n=1) 2n+2(n≥2)

，
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₃=10+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-6．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．