Question

已知

m

=(sinwx，coswx)，

n

=(cosφ，sinφ），函數(shù)f(x)=2(Acoswx)

m

•

n

-Asinφ （其中A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)（即函數(shù)取得最大值的點(diǎn)）為P（

1

3

，2），在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)為Q（

5

6

，0）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[

21

4

，

23

4

]上是否存在對(duì)稱(chēng)軸，存在求出方程；否則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)可得函數(shù)f（x）的解析式為 Asin（2ωx+φ），根據(jù)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A，據(jù)函數(shù)的周期性求得ω，把點(diǎn)代入求得 φ 的值．
（2）由 πx+

π

6

=kπ+

π

2

k∈z，解得x=k+

1

3

．令

21

4

≤k+

1

3

≤

23

4

以及k的性質(zhì)，解得k的值，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意化簡(jiǎn)可知，函數(shù)f(x)=2(Acoswx)

m

•

n

-Asinφ=2Acosωx（sinωxcosφ+cosωxsinφ）-Asinφ
=A（sin2ωxcosφ+2cos²ωxsinφ）-Asinφ=A（sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ）=Asin（2ωx+φ），（4分）
且A=2，

1

4

•

2π

ω

=

5

6

-

1

3

，∴ω=π．
將點(diǎn)P（

1

3

，2）代入 y=2sin（πx+φ）可得：sin（

π

3

+φ）=1，∴φ=2kπ+

π

6

，k∈z．
考慮到|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

，于是函數(shù)的表達(dá)式為 f（x）=2sin（πx+

π

6

）．     （6分）
（2）由 πx+

π

6

=kπ+

π

2

 k∈z，解得x=k+

1

3

．
令

21

4

≤k+

1

3

≤

23

4

，解得：

59

12

≤k≤

65

12

．  由于k∈z，所以k=5．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[

21

4

，

23

4

]上存在對(duì)稱(chēng)軸，其方程為x=

16

3

．   …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，屬于中檔題．