設(shè)a=x2+2x+1,b=x2+7x+1,c=mx,x>0且m>0,m為常數(shù).
(1)當(dāng)m=13時,求
c
a+b
的最大值;
(2)若對任意x>0,以
a
,
b
,
c
為三邊長總能構(gòu)成三角形,求m的取值范圍.
分析:(1)代入利用基本不等式即可得出;
(2)由于b>a>0,可得
b
a
>0
.由三角形的三邊的大小關(guān)系可得
b
+
a
c
a
+
c
b
,即
x2+7x+1
+
x2+2x+1
mx
x2+2x+1
+
mx
x2+7x+1
對x>0恒成立.
化為
x+7+
1
x
+
x+2+
1
x
m
x+7+
1
x
-
x+2+
1
x
m
對x>0恒成立,利用x+
1
x
≥2
即可得出.
解答:解:(1)由已知得
c
a+b
=
13x
2x2+9x+2
=
13
2(x+
1
x
)+9
,
∵x>0,
x+
1
x
≥2
,
c
a+b
≤1
,當(dāng)x=1時取等號,
c
a+b
的最大值是1. 
(2)∵b>a>0,∴
b
a
>0

b
+
a
c
a
+
c
b
,
x2+7x+1
+
x2+2x+1
mx
x2+2x+1
+
mx
x2+7x+1
對x>0恒成立.
x+7+
1
x
+
x+2+
1
x
m
x+7+
1
x
-
x+2+
1
x
m
對x>0恒成立                  
x+7+
1
x
+
x+2+
1
x
7+2
+
2+2
=5
(x=1去等號),
5>
m
,m<25.
又∵
x+7+
1
x
-
x+2+
1
x
=
5
x+7+
1
x
+
x+2+
1
x
≤1
,
m
>1
,m>1.
綜上得:1<m<25.
點評:本題考查了基本不等式、三角形的三邊大小關(guān)系、恒成立問題等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)a=x2-x+1,b=x2-2x,c=2x-1,若a,b,c分別為△ABC的相應(yīng)三邊長,
(1)求實數(shù)x的取值范圍;
(2)求△ABC的最大內(nèi)角;
(3)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,求
Rr
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)a=x2-x+1,b=x2-2x,c=2x-1,若a,b,c分別為△ABC的相應(yīng)三邊長,
(1)求實數(shù)x的取值范圍;
(2)求△ABC的最大內(nèi)角;
(3)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,求
R
r
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省南京市高三(上)期中數(shù)學(xué)模擬試卷(一)(解析版) 題型:解答題

設(shè)a=x2-x+1,b=x2-2x,c=2x-1,若a,b,c分別為△ABC的相應(yīng)三邊長,
(1)求實數(shù)x的取值范圍;
(2)求△ABC的最大內(nèi)角;
(3)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,求的取值范圍.

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