如下圖,一條河寬1km,相距4km(直線距離)的兩座城市,A,B分別位于河的兩岸(假定岸是平行的直線),現(xiàn)需鋪設(shè)一條電纜連通A與B,已知地下電纜的修建費(fèi)為每千米2萬(wàn)元,水下電纜的修建費(fèi)為每千米4萬(wàn)元,問應(yīng)如何鋪設(shè)電纜可使總的修建費(fèi)用最少?(=1.732,
=2.236,
=3.8730)
思路 本例的關(guān)鍵在于確定水中電纜的長(zhǎng)度,即C點(diǎn)位置.由于選擇參變數(shù)的不同,總的修建費(fèi)的目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)方式各異,因而有判別式法、平均值不等式法、三角換元法、平面幾何作圖法等不同解法. 解答 解法一 設(shè)C為OA上一點(diǎn),OC=x(km), 則CA= ∴總修建費(fèi)y=2( 12x2+(8 ∵△=(8 �。統(tǒng)2-4 ∴y≥2 2 即3x2-2 即當(dāng)x= 此時(shí)CA≈3.3(km),BC≈1.2(km). 答:先沿岸邊鋪設(shè)3.3km的地下電纜,再鋪設(shè)1.2km水下電纜連通A,B兩市時(shí),總修建費(fèi)最少. 解法二 設(shè)C為OA上一點(diǎn), ∠OBC=α,α∈(0,arccos 則BC= ∴總修建費(fèi)y=2( �。�2 則sinα+tcosα=2, ∴sin(α+ 由|sin(α+ ∴y≥2 當(dāng)t= 解之得x= 此時(shí)CA= BC= 解法三 如下圖,作∠DAO= 因?yàn)樗码娎|修建費(fèi)是地下電纜修建費(fèi)的2倍,所以A 而B到直線AD的最短距離為垂線段BF,所以A ∴OC= 此時(shí)AC≈3.3(km),BC≈1.2(km) 評(píng)析 解法一叫做判別式法,在用判別式法求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意最值是否能真正取到,即是否存在與最值相應(yīng)的自變量值,也就是“△≥0”的“=”能否成立.簡(jiǎn)單地說(shuō)是應(yīng)驗(yàn)證.解法三是平面幾何作圖法,形象直觀,但必須敘述、推理嚴(yán)謹(jǐn). |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:044
如圖,一條河寬1km,兩岸各有城市A與B,其直線距離為4km,今需鋪設(shè)一條電纜連結(jié)A與B,已知地下電纜的修建費(fèi)為2萬(wàn)元/km,水下電纜的修建費(fèi)是4萬(wàn)元/km,假定河兩岸是平行直線,問應(yīng)如何架設(shè)電纜方可使總施工費(fèi)用最少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:成功之路·突破重點(diǎn)線·數(shù)學(xué)(學(xué)生用書) 題型:044
如下圖,一條河寬1千米,相距4千米(直線距離)的兩座城市A和B,分別位于河的兩岸(城市A,B與岸的距離忽略不計(jì)).現(xiàn)需鋪設(shè)一條電纜連通城市A與B.已知水下電纜的修建費(fèi)為4萬(wàn)元/千米,地下電纜的修建費(fèi)為2萬(wàn)元/千米,假設(shè)兩岸是平行直線,問:應(yīng)如何鋪設(shè)電纜可使總費(fèi)用最少?(=3.873,
=1.732,精確到百米,百元)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:學(xué)習(xí)高手必修四數(shù)學(xué)蘇教版 蘇教版 題型:044
如下圖,一條河的兩岸平行,河寬為500米,一艘船從A處出發(fā)到對(duì)岸,船速為10千米/時(shí),水流速度為2千米/時(shí).求航程最短時(shí),船到達(dá)對(duì)岸所用的時(shí)間.(精確到0.1分鐘)
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