Question

【題目】如圖，在三棱臺(tái)中，二面角是直二面角，，，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】分析：（1）由勾股定理可得，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，從而可得，結(jié)合，由線面垂直的判定定理可得平面；（2）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，由（1）可知，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，是平面的一個(gè)法向量，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

詳解：（1）連接，在等腰梯形中，過(guò)作交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，，，所以，所以，即，又二面角是直二面角，平面，所以平面，

又平面，所以，又因?yàn)?/span>，，、平面，所以平面．

（2）如圖，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，由（1）可知，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．

則，，，，

所以，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，所以，

取，則，，

即，

由（1）可知平面，

所以是平面的一個(gè)法向量，

所以 ，

又二面角的平面角為銳角，

所以二面角的平面角的余弦值為．