已知函數(shù)f(x)=6lnx-ax2-8x+b(a，b為常數(shù))，且x=3為f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)若y=f(x)的圖像與x軸正半軸有且只有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解：(Ⅰ)∵f′(x)=-2ax-8,∴f′(3)=2-6a-8=0,則a=-1.

(Ⅱ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).由(I)知f(x)=6lnx+x2-8+b.

∴f′(x)=+2x-8=.

由f′(x)＞0可得x＞3或x＜1,由f′(x)＜0可得1＜x＜3.

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3).

(注：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間應(yīng)分開(kāi)寫(xiě),不能用“U”連接)

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,3)單調(diào)遞減,在(3,+∞)單調(diào)遞增.

且當(dāng)x=1或x=3時(shí),f′(x)=0.

∴f′(x)的極大值為f′(1)=6ln1+1-8+b=b-7,

f′(x)的極大值為f(3)=6ln3+9-24+b=6ln3+b-15.

∵當(dāng)x充分接近0時(shí),f′(x)＜0.當(dāng)x充分大時(shí),f(x)＞0.

∴要使的f′(x)圖像與x軸正半軸有且僅有三個(gè)不同的交點(diǎn),只

需則7＜b＜15-6ln3

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=-cosx+cos(
π
2
-x)，
（1）若x∈[0，π]，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值及此時(shí)x的值；
（2）若x∈(0，
π
6
)，且sin2x=
1
3
，求f（x）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東至縣一模）已知函數(shù)f(x)=2
3
sin(
x
2
+
π
4
)cos(
x
2
+
π
4
)-sin(x+π)．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象按向量
a
=（
π
6
，0）平移得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x+2，(x≤-2)
x2，(-2＜x＜2)
2x，(x≥2)
若f（a）=8，則a等于（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=6-
3
2
a+(3-a)sinx-
1
2
acos2x，
（Ⅰ）若a＞0，x∈[0，
π
2
]，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若x∈[0，2π）時(shí)，f（x）的圖象與x軸有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=6-
3
2
a+(3-a)sinx-
1
2
acos2x，
（Ⅰ）若a＞0，x∈[0，
π
2
]，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若x∈[0，2π）時(shí)，f（x）的圖象與x軸有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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