Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明下述整除問(wèn)題：

求證：11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹(n∈N^*)被133整除.

Answer 1

思路分析：數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)數(shù)或式的整除問(wèn)題時(shí)，要充分利用整除的性質(zhì)，若干個(gè)數(shù)（或整式）都能被某一個(gè)數(shù)（或整式）整除，則其和、差、積也能被這個(gè)數(shù)（或整式）整除.

證明：(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，11³+12³=1 331+1 728=3 059=133×23能被133整除，

∴當(dāng)n=1時(shí)命題正確；

(Ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題正確，即11^k+2+12^2k+1能被133整除，

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，

11^k+3+12^2k+3=11×(11^k+2+12^2k+1)+12^2k+3-11×12^2k+1

=11×(11^k+2+12^2k+1)+12^2k+1×(12²-11)

=11×(11^k+2+12^2k+1)+12^2k+1×133.

能被133整除，即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也正確.

由(Ⅰ)(Ⅱ)知命題對(duì)n∈N^*都正確.

方法歸納

（1）證明整除性問(wèn)題時(shí)，常用到以下整除的性質(zhì)：

若a|b，且a|c，則a|(b±c);

若a|b，則a|bc，“a|b”表示a能整除b或b能被a整除.

（2）在由n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1，命題也成立時(shí)，要注意設(shè)法化去增加的項(xiàng)，通常要用到拆項(xiàng)、結(jié)合、添項(xiàng)、減項(xiàng)、分解、化簡(jiǎn)等技巧.