Question

已知拋物線x²=4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為M．
（I）證明為定值；
（II）設(shè)△ABM的面積為S，寫出S=f（λ）的表達(dá)式，并求S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_o，y_o），根據(jù)拋物線方程可得焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得x₁+x₂和x₁x₂，根據(jù)曲線4y=x²上任意一點斜率為y'=，可得切線AM和BM的方程，聯(lián)立方程求得交點坐標(biāo)，求得和，進(jìn)而可求得•的結(jié)果為0，進(jìn)而判斷出AB⊥FM．
（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)x₁+x₂的關(guān)系式求得k和a的關(guān)系式，進(jìn)而求得弦長AB，可表示出△ABM面積．最后根據(jù)均值不等式求得S的范圍，得到最小值．
解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_o，y_o），焦點F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=-1，
顯然AB斜率存在且過F（0，1）
設(shè)其直線方程為y=kx+1，聯(lián)立4y=x²消去y得：x²-4kx-4=0，
判別式△=16（k²+1）＞0．
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
于是曲線4y=x²上任意一點斜率為y'=，則易得切線AM，BM方程分別為y=（）x₁（x-x₁）+y₁，y=（）x₂（x-x₂）+y₂，其中4y₁=x₁²，4y₂=x₂²，聯(lián)立方程易解得交點M坐標(biāo)，x_o==2k，y_o==-1，即M（，-1）
從而，=（，-2），（x₂-x₁，y₂-y₁）
•=（x₁+x₂）（x₂-x₁）-2（y₂-y₁）=（x₂²-x₁²）-2[（x₂²-x₁²）]=0，（定值）命題得證．
這就說明AB⊥FM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S=|AB||FM|．
|FM|====．
因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y=-1的距離，所以
|AB|=|AF|+|BF|=y₁+y₂+2=λ++2=（）²．
于是S=|AB||FM|=（）³，
由≥2知S≥4，且當(dāng)λ=1時，S取得最小值4．
點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．拋物線與直線的關(guān)系和拋物線的性質(zhì)等都是近幾年高考的熱點，故應(yīng)重點掌握．