Question

10．如果有窮數(shù)列{a_n}滿足條件：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1，我們稱其為“對稱數(shù)列”，例如數(shù)列1，2，3，4，3，2，1和1，2，3，4，4，3，2，1都是“對稱數(shù)列”．已知數(shù)列{b_n}是項數(shù)不超過2m（m＞1，m∈N*）的“對稱數(shù)列”，并使得1，2，2²，2³，…，2^m-1依次為該數(shù)列中連續(xù)的前m項．則數(shù)列{b_n}的前2015項和S₂₀₁₅可以是：
①2²⁰¹⁵-1；     
②2²⁰¹⁵-2；
③3•2^m-1-2^2m-2016-1；
④3•2^m-2^2m-2016-1；
⑤2^m+1-2^2m-2015-1．
其中正確結論的序號為①③⑤．（請寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

分析 由題意由于新定義了對稱數(shù)列，且已知數(shù)列bn是項數(shù)為不超過2m（m＞1，m∈N*）的“對稱數(shù)列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項，故數(shù)列bn的前2015項利用等比數(shù)列的前n項和定義直接可求①②的正確與否；對于③④⑤，先從等比數(shù)列的求和公式求出任意2m項的和，再利用減法得到需要的前2015項的和，即可判斷．

解答 解：因為數(shù)列b_n是項數(shù)為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數(shù)列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項，
所以分數(shù)列的項數(shù)是偶數(shù)和奇數(shù)討論．
1）若數(shù)列含偶數(shù)項，則數(shù)列可設為1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
當m-1≥2014時，S₂₀₁₅=$\frac{1×（1-{2}^{2015}）}{1-2}={2}^{2015}-1$故①正確，②錯；
當1007≤m-1＜2014時，S₂₀₁₅=2×$\frac{1×（1-{2}^{m}）}{1-2}-\frac{1×（1-{2}^{2m-2015}）}{1-2}\\;\\;\\;\\;\\;\$=2^m+1-2^2m-2015-1，故⑤正確；
2）若數(shù)列含奇數(shù)項，則數(shù)列可設為可設為1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
當m-1≥2014時，S₂₀₀₉=2²⁰⁰⁹-1；
當1007≤m-1＜2014時，所以S₂₀₁₅=2×$\frac{1×（1-{2}^{m-1}）}{1-2}+{2}^{m-1}-\frac{1×（1-{2}^{2m-1-2019}）}{1-2}$=3•2^m-1-2^2m-2016-1；故③正確；
故答案為：①③⑤

點評 本題考查了新定義對稱數(shù)列，運用的知識都是數(shù)列的基本知識：等差數(shù)列的通項及求和公式，等比數(shù)列的通項及求和公式，還體現(xiàn)了分類討論在解題中的應用，屬于基礎題．