Question

已知一點A和平面a，求證：經(jīng)過點A只能有一條直線和平面a垂直．

Answer 1

考點：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：當(dāng)點A在平面α內(nèi)．假設(shè)經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線，由此推導(dǎo)出在平面內(nèi)經(jīng)過A有兩條垂線都和直線a垂直，這不成立；點A在平面α外，假設(shè)經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線AB和AC，在平面內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和BC垂直，也不成立．由此能證明經(jīng)過一點A只能有平面α的一條垂線．

解答： 證明：根據(jù)點A和平面α的位置關(guān)系，分兩種情況證明．①如圖（1）所示，點A在平面α內(nèi)．
假設(shè)經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線AB、AC，
那么AB、AC是兩條相交直線，
它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于經(jīng)過點A的一條直線a．
因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，
所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β內(nèi)經(jīng)過A有兩條垂線都和直線a垂直，
這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾．
②如圖（2）所示，點A在平面α外，
假設(shè)經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線AB和AC（B、C為垂足），
那么AB、AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，
平面β和平面α相交于直線BC．
因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，所以AB⊥BC，AC⊥BC．
在平面β內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和BC垂直，
與平面幾何中經(jīng)過直線外一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾．
綜上，經(jīng)過一點A只能有平面α的一條垂線．

點評：本題考查經(jīng)過點A只能有一條直線和平面a垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．