Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax²-bx．
（1）當(dāng)a+b=1時，試用含a的表達(dá)式研究f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=0，b=-1時，方程2mf（x）=x²有唯一實數(shù)解，求正數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將b=a-1代入f′（x）=-ax+b，得f′（x）=-ax+a-1．當(dāng)f′（x）＞0時，-＞0，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，由此對a討論后能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）方程2mf（x）=x²有唯一實數(shù)解，即x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數(shù)解，設(shè)g（x）=x²-2mlnx-2mx，通過導(dǎo)數(shù)法求得g（x）的最小值g（），最后由得到=1，從而可求得m．
解答：解：（1）∵a+b=1，故b=1-a，
∴f′（x）=-ax+a-1，…1′
當(dāng)f′（x）＞0時，-＞0，∵x＞0，
∴（ax+1）（x-1）＜0，…2′
若a≥0，有0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；…3′
若-1＜a＜0，增區(qū)間（-，+∞），（0，1），減區(qū)間（1，-）…4′
若a=-1，增區(qū)間（0，+∞）…5′
若a＜-1，增區(qū)間（0，-），（1，+∞），減區(qū)間（-，1）…6′
（2）∵方程2mf（x）=x²有唯一實數(shù)解，
∴x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數(shù)解，
設(shè)g（x）=x²-2mlnx-2mx，
則g′（x）=，令g′（x）=0，即x²-mx-m=0，
∵m＞0，x＞0，
∴x₁=（舍去），
x₂=…8′
當(dāng)x∈（0，x₂），g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x₂，+∞），g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x=x₂時，g′（x）=0，g（x）取最小值g（x₂）…10′
則即，
∴2mlnx₂+mx₂-m=0，因為m＞0，
∴2lnx₂+x₂-1=0（*），
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx₂+x₂-1，因為當(dāng)x＞0時，h（x）是增函數(shù)，
∴h（x）=0至多有一解，因為h（1）=0，
∴方程（*）的解為：x₂=1…12′
即=1，解得m=…13′
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，考查論證推理能力，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．