Question

如圖，平面EAD⊥平面ABFD，△AED為正三角形，四邊形ABFD為直角梯形，且∠BAD=90°，AB∥DF，AD=a，AB=

2

a，DF=

2 a

2

． 
（I）求證：EF⊥FB；
（II）求直線EB和平面ABFD所成的角．

Answer 1

分析：（I）過點(diǎn)E向AD引垂線交AD于點(diǎn)O，根據(jù)△AED為正三角形以及平面EAD⊥平面ABFD可得EO⊥平面ABFD；先連接OF，求出OF，BF，OB的平方，得到OF⊥FB；再結(jié)合EO⊥FB，證得FB⊥平面EOF即可得到EF⊥FB；
（II）根據(jù)（I）得EO⊥平面ABFD，可得直線EB和平面ABCD所成的角為∠EBO．再RT△EOB中求出任意兩邊長即可求直線EB和平面ABFD所成的角．

解答：解：（I）過點(diǎn)E向AD引垂線交AD于點(diǎn)O，根據(jù)△AED為正三角形以及平面EAD⊥平面ABFD
可得EO⊥平面ABFD
連接OF，則OF2=OD2+DF2=

1

4

a2+

1

2

a2=

3

4

a2，FB2=FC2+CB2=

1

2

a2+a2=

3

2

a2，OB2=

9

4

a2，
所以O(shè)B²=OF²+FB²，即OF⊥FB．  ①
又因?yàn)镋O⊥平面ABFD
所以EO⊥FB，②
所以FB⊥平面EOF，得EF⊥FB．（5分）
（II）由（I）得，EO⊥平面ABFD，
則直線EB和平面ABCD所成的角為∠EBO．
因?yàn)?span id="22j96to" class="MathJye">EO=

3

2

a，OB2=

1

4

a2+2a2=

9

4

a2，得OB=

3

2

a，
所以tan∠EOB=

EO

OB

=

3

3

，即∠EBO=

π

6

．（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力、推理論證能力．