Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-1的導函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，直線x-y-1=0是y=f（x）的一條切線．
（1）求a、b的值．
（2）若g（x）=-f（x）+x²+4x，求g（x）的極值．

Answer 1

解：（1）首先f′（x）=x²+2ax+b，
因為導函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，所以a=0，
∴f（x）=x³+bx-1，此函數(shù)圖象與直線x-y-1=0的一個交點是（0，1），且（0，1）是f（x）圖象的一個對稱中心，如圖．
由于直線x-y-1=0是y=f（x）的一條切線，且直線的斜率k=1，
根據(jù)導數(shù)的幾何意義知k=f′（0）=1，即b=1．
∴a=0，b=1．
（2）由（1）得：f（x）=x³+x-1，
∴g（x）=-f（x）+x²+4x=-x³+x²+3x+1
g′（x）=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3），
當g′（x）＜0時，x＜-1或x＞3；當f′（x）＞0時，-1＜x＜3
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 （-∞，-1）和（3，+∞）；函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（-1，3）
因此求出函數(shù)g（x）的極大值為g（3）=10，極小值為g（-1）=-．
分析：（1）先對函數(shù)進行求導，根據(jù)函數(shù)f（x）導函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，a值為0，再根據(jù)直線x-y-1=0是y=f（x）的一條切線，列出方程即可求出b的值；
（2）根據(jù)（1）得出的a，b的值寫出g（x）的解析式，再利用導數(shù)研究它的單調(diào)性，可以得出函數(shù)g（x）的極大值與極小值．
點評：本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件和導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)解決函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，綜合性較強，屬于中檔題．