Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以線段F₁F₂為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，若∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，則此橢圓的離心率為（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  6

  3

• C、

  2

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知可得∠F₁PF₂=90°，再由∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁求出∠PF₁F₂=15°，∠PF₂F₁=75°，結(jié)合正弦定理得到a，c的關(guān)系，則答案可求．

解答： 解：∵P是以F₁F₂為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，
∴∠F₁PF₂=90°，
∵∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，
∴∠PF₁F₂=15°，∠PF₂F₁=75°，
∴|PF₁|=|F₁F₂|sin∠PF₂F₁=2c•sin75°，
∴|PF₂|=|F₁F₂|sin∠PF₁F₂=2c•sin15°，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=2c•sin75°+2c•sin15°=4csin45°cos30°=4×

2

2

×

3

2

c=

6

c，
∴a=

6

2

c，
∴e=

c

a

=

6

3

．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了橢圓定義的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．