Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f′（0）=e⁰-3=-2＜0，f′（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0，
令h（x）=f′（x）=e^x+4x-3，則h′（x）=e^x+4＞0，
∴f′（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零點(diǎn)，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的極值點(diǎn)

（2）由 ，
得 ，
即 ，
∵，∴，
令 ，則 ，
令 ，則?'（x）=x（e^x-1）
∵，∴?'（x）＞0，∴?（x）在 上單調(diào)遞增，
∴，
因此g'（x）＞0，故g（x）在 上單調(diào)遞增，
則 ．
分析：（1）先求f′（0）與f′（1），看兩值是否異號，然后證明f′（x）在[0，1]上單調(diào)性，即可證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點(diǎn)；
（2）將參數(shù)a分離出來，得到 在[，+∞）上恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)研究不等式右邊的函數(shù)在[，+∞）上的最小值即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及函數(shù)恒成立問題等基礎(chǔ)題知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．