Question

探究函數(shù)f（x）=x+

4

x

，x∈（-∞，0）的最大值，并確定取得最大值時(shí)x的值．列表如下：

x	…	-3	-2.3	-2.2	-2.1	-2	-1.9	-1.7	-1.5	-1	-0.5	…
y	…	-4.3	-4.04	-4.02	-4.005	-4	-4.005	-4.05	-4.17	-5	-8.5	…

請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下的問(wèn)題．
（1）函數(shù)f（x）=x+

4

x

，x∈（-∞，0）在區(qū)間

 

上為單調(diào)遞增函數(shù)．當(dāng)x=

 

時(shí)，f（x）_最大=

 

．
（2）證明：函數(shù)f（x）=x+

4

x

在區(qū)間[-2，0）為單調(diào)遞減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合所給的表格可得，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-2）上的單調(diào)性及最大值．
 （2）任取-2≤x₁＜x₂＜0，依據(jù)條件求得f（x₁）-f（x₂）＞0，可得函數(shù)y=f（x）是[-2，0）上的減函數(shù)．

解答：解：（1）結(jié)合所給的表格可得，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-2）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）_max=-4．
故答案為：（-∞，-2）、-2、-4．
 （2）任取-2≤x₁＜x₂＜0，
∵f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)，
 由題設(shè)可得0＜x₁x₂＜4，∴1-

4

x1x4

＜0；
 又x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），故函數(shù)y=f（x）是[-2，0）上的減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的證明和性質(zhì)，屬于中檔題．