Question

【題目】過(guò) 軸上動(dòng)點(diǎn) 引拋物線 的兩條切線 、 ， 、 為切點(diǎn)，設(shè)切線 、 的斜率分別為 和 .

（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求證：直線 恒過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)過(guò) 與拋物線 的相切的直線的斜率是 ，
則該切線的方程為： ，由 得
，
則 都是方程 的解，故 。
（Ⅱ）法1：設(shè) ，
故切線 的斜率是 ，方程是 又 ，
所以方程可化為 ，
切線 的斜率是 ，方程是 又 ，
所以方程可化為 ，
又由于 點(diǎn)在AP上，則 ，
又由于 點(diǎn)在AQ上，則 ，
，
則直線PQ的方程是 ，則直線PQ過(guò)定點(diǎn) .
法2：設(shè) ， 所以,
直線PQ： ，
即 ，由（1）知 ，
所以，直線PQ的方程是 ，則直線PQ過(guò)定點(diǎn) .
【解析】（1）設(shè)出過(guò)A點(diǎn)的直線，聯(lián)立拋物線，已知直線與拋物線相切，故，再利用韋達(dá)定理可以得到結(jié)果。
（2）先設(shè)出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出PQ直線方程，即可知定點(diǎn)坐標(biāo)。