Question

7．已知圓心為C 的圓經(jīng)過點(diǎn)A（-3，2）和點(diǎn)B（1，0），且圓心C在直線y=x+1上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知線段MN的端點(diǎn)M的坐標(biāo)（3，4），另一端點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段MN 的中點(diǎn)G的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a，a+1），根據(jù)A、B兩點(diǎn)在圓上利用兩點(diǎn)的距離公式建立關(guān)于a的方程，解出a值．從而算出圓C的圓心和半徑，可得圓C的方程．
（2）設(shè)出點(diǎn)G、N的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式用G點(diǎn)的坐標(biāo)表示N點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入圓的方程，整理后得到點(diǎn)G軌跡方程．

解答 解：（1）由圓心C在直線y=x+1上，可設(shè)圓心的坐標(biāo)為C（a，a+1），
再根據(jù)圓C經(jīng)過點(diǎn)A（-3，2）和點(diǎn)B（1，0），可得|CA|=|CB|，
即（a+3）²+（a-1）²=（a-1）²+（a+1）²，求得a=-2，
可得圓心C的坐標(biāo)是（-2，-1），r=$\sqrt{10}$，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）²+（y+1）²=10
（2）設(shè)N（x₁，y₁），G（x，y），
∵線段MN的中點(diǎn)是G，
∴由中點(diǎn)公式得x₁=2x-3，y₁=2y-4，
∵N在圓C上，∴（2x-1）²+（2y-3）²=10，
∴點(diǎn)G的軌跡方程是${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是直線與圓的方程綜合性題，考查了用待定系數(shù)法求圓的方程，用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題．