Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=

n(n+1)

2

，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）是否存在正整數(shù)k，使得a_k、S_2k、a_4k成等比數(shù)列？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=

n(n+1)

2

，n∈N^*．取n=1，可得1+a₂-2=1，解得即可．
（2）由nS_n+1-（n+1）S_n=

n(n+1)

2

，n∈N^*．變形為

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

，利用等差數(shù)列的通項公式可得

Sn

n

，再利用遞推式即可得出．
（3）假設(shè)存在正整數(shù)k，使得a_k、S_2k、a_4k成等比數(shù)列，則

S

2 2k

=a_k•a_4k，代入解出即可．

解答： 解：（1）由a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=

n(n+1)

2

，n∈N^*．取n=1，可得1+a₂-2=1，解得a₂=2．
（2）∵nS_n+1-（n+1）S_n=

n(n+1)

2

，n∈N^*．變形為

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

，
∴數(shù)列{

Sn

n

}是等差數(shù)列，首項為1，公差為

1

2

，
∴

Sn

n

=1+

1

2

(n-1)，化為Sn=

n(n+1)

2

，
當n≥2時，Sn-1=

n(n-1)

2

，∴a_n=S_n-S_n-1=n，當n=1時，等式也成立，
∴a_n=n．
（3）假設(shè)存在正整數(shù)k，使得a_k、S_2k、a_4k成等比數(shù)列，
則

S

2 2k

=ak•a4k，
∴[

2k(2k+1)

2

]2=k×4k，
化為2k+1=2，
解得k=

1

2

，舍去．
因此不存在正整數(shù)k，使得a₃、S₆、a₁₂成等比數(shù)列．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、遞推式的應用，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．