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16.如圖,已知Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,M在OB上,且OM=1,N在OA上,且ON=1,P為AM與BN的交點(diǎn),求∠MPN.(要求用向量求解).

分析OAOB表示出AMBN,求出AMBN的夾角即為∠MPN.

解答 解:∵OA=3,OB=2,OM=ON=1,則OM=12OBON=13OA,
∴|AM|=OA2+OM2=10,|BN|=OB2+ON2=5
又∵AM=OM-OA=12OB-OA,BN=ON-OB=13OA-OB,
∵∠AOB=90°,∴OAOB=0
AMBN=(12OB-OA)•(13OA-OB)=-12OB213OA2=-5,
設(shè)AM,BN的夾角為θ,
∴cosθ=5510=-22,
又∵θ∈[0,π],∴θ=3π4,
又∵∠MPN即為向量AM,BN的夾角,
∴∠MPN=3π4

點(diǎn)評(píng) 問題考查了平面向量在幾何中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

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