Question

（09年揚(yáng)州中學(xué)2月月考）（16分）已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，

（Ⅰ）；(5分)

（Ⅱ）證明：對(duì)于數(shù)列，一定存在，使；(5分)

（Ⅲ）令，當(dāng)時(shí)，求證：(6分)

Answer 1

解析:（Ⅰ）由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開(kāi)始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,從而=  ……(3分)

    =.  …………(5分)

   （Ⅱ）證明：①若,則題意成立…………………(6分)

②若,此時(shí)數(shù)列的前若干項(xiàng)滿足,即.

設(shè),則當(dāng)時(shí),.

從而此時(shí)命題成立…… (8分)

③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時(shí)命題也成立.

綜上所述,原命題成立……………(10分)

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?IMG height=48 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090427/20090427125911016.gif' width=143>,

    所以=……………(11分)

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090427/20090427125911019.gif' width=17>>0,所以只要證明當(dāng)時(shí)不等式成立即可.

而

………(13分)

①當(dāng)時(shí),

……(15分)

②當(dāng)時(shí),由于>0,所以<

綜上所述,原不等式成立………(16分)