Question

已知函數(shù)f（x²-3）=lg

x2

x2-6

，
（1）求f（x）的解析式及其定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性及其單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過將原函數(shù)變成f(x2-3)=lg

(x2-3)+3

(x2-3)-3

，便可得到f（x）=lg

x+3

x-3

，而由原函數(shù)求出x²-3的范圍即是f（x）的定義域：（3，+∞）；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱即可知道f（x）非奇非偶，而求f′（x），并判斷它的符號即可判斷出f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：f(x2-3)=lg

x2

x2-6

=lg

(x2-3)+3

(x2-3)-3

；
∴f(x)=lg

x+3

x-3

；
由

x2

x2-6

＞0得，x²-3＞3；
∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）；
（2）∵f（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴f（x）為非奇非偶函數(shù)；
∵f′(x)=

-6

(x+3)(x-3)

＜0；
∴f（x）在區(qū)間（3，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：考查函數(shù)解析式的概念，以及由f[g（x）]解析式求f（x）解析式用到的方法，奇偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．