(2012•順義區(qū)二模)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,AB=
2
,F(xiàn)是BC的中點.
(Ⅰ)求證:DA⊥平面PAC;
(Ⅱ)試在線段PD上確定一點G,使CG∥平面PAF,并求三棱錐A-CDG的體積.
分析:(Ⅰ)平行四邊形ABCD中,證出AC⊥DA.結合PA⊥平面ABCD,得PA⊥DA,由線面垂直的判定定理,可得DA⊥平面PAC.
(Ⅱ)設PD的中點為G,在平面PAD內作GH⊥PA于H,連接FH,可證出四邊形FCGH為平行四邊形,得GC∥FH,所以CG∥平面PAF.設點G到平面ABCD的距離為d,得d=
1
2
PA=
1
2
,結合Rt△ACD面積和錐體體積公式,可算出三棱錐A-CDG的體積.
解答:解:(Ⅰ)∵四邊形是平行四邊形,
∴AD∥BC,可得∠ACB=∠DAC=90°,即AC⊥DA
∵PA⊥平面ABCD,DA⊆平面ABCD,∴PA⊥DA,
又∵AC⊥DA,AC∩PA=A,∴DA⊥平面PAC.
(Ⅱ)設PD的中點為G,在平面PAD內作GH⊥PA于H,連接FH,
則△PAD中,GH平行且等于
1
2
AD

∵平行四邊形ABCD中,F(xiàn)C平行且等于
1
2
AD
,
∴GH∥FC且GH=FC,四邊形FCGH為平行四邊形,得GC∥FH,
∵FH?平面PAF,CG?平面PAF,
∴CG∥平面PAF,即G為PD中點時,CG∥平面PAF.
設點G到平面ABCD的距離為d,則
由G為PD中點且PA⊥平面ABCD,得d=
1
2
PA=
1
2

又∵Rt△ACD面積為
1
2
×1×1=
1
2

∴三棱錐A-CDG的體積VA-CDG=VG-CDA=
1
3
S△ACD×
1
2
=
1
12
點評:本題給出四棱錐,求證線面垂直并求錐體的體積,著重考查了線面垂直的判定與性質、線面平行的判定和錐體體積公式等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•順義區(qū)二模)已知向量
a
,
b
的夾角為
π
3
,且|
a
|=2
,|
b
|=1
,則向量
a
與向量
a
+2
b
的夾角等于(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•順義區(qū)二模)已知p、q是簡單命題,則“p∧q是真命題”是“?p是假命題”的(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•順義區(qū)二模)如圖是一個空間幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為( �。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•順義區(qū)二模)已知全集為U,P⊆U,定義集合P的特征函數(shù)為fP(x)=
1,x∈P
0,x∈CUP
,對于A⊆U,B⊆U,給出下列四個結論:
①對?x∈U,有fCUA(x)+fA(x)=1;
②對?x∈U,若A⊆B,則fA(x)≤fB(x);
③對,有fA∩B(x)=fA(x)•fB(x);
④對?x∈U,有fA∪B(x)=fA(x)+fB(x).
其中,正確結論的序號是( �。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•順義區(qū)二模)已知點P(-3,4)在角α的終邊上,則sinα=
4
5
4
5

查看答案和解析>>

同步練習冊答案