Question

已知橢圓的準(zhǔn)線平行于x軸，長軸長是短軸長的3倍，且過點(diǎn)（2，3）．
（Ⅰ）求橢圓的離心率； 
（Ⅱ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出準(zhǔn)線方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓的方程是

y2

a2

+

x2

b2

=1，根據(jù)長軸長是短軸長的3倍，求出a與b，c與b的關(guān)系，求出橢圓的離心率； 
（II）設(shè)橢圓的方程是

y2

a2

+

x2

b2

=1，由題設(shè)，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓過點(diǎn)（2，3），且它的長軸長是短軸長的3倍，故可以得兩個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，解出參數(shù)就可得到橢圓的方程及準(zhǔn)線方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程是

y2

a2

+

x2

b2

=1，
∵長軸長是短軸長的3倍，
∴a=3b，
∴c=

a 2-b 2

=2

2

b，
∴橢圓的離心率為：
e=

c

a

=

2 2 b

3b

=

2 2

3

（4分）
（Ⅱ）由題設(shè)，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓過點(diǎn)（2，3），且a=3b，
∴

9

a2

+

4

b2

=1，又a²=c²+b²
三式聯(lián)立可以解得a=3

5

，b=

5

，c=2

10

，
故該橢圓的方程為：

y2

45

+

x2

5

=1（6分），
準(zhǔn)線：y=±

9 10

4

（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何特征，利用幾何特征建立三個(gè)參數(shù)a，b，c的方程，求出參數(shù)，進(jìn)而求出橢圓的方程．